Objectivity을 우리말로 표현하기 어렵다. 객관성?
어떠한 조건에서도 변하지 않도록 물리 현상을 나타내는(기술하는) 방식으로,
Frame invariance, 즉 관찰자의 프레임에 따라 물리적 특성이 변하지 않도록 하는 것이다.
상세한 영어 자료는 위키피디아를 참고하면 된다. 이해하기가 쉽지 않지만...
어떠한 조건에서도 변하지 않도록 물리 현상을 나타내는(기술하는) 방식으로,
Frame invariance, 즉 관찰자의 프레임에 따라 물리적 특성이 변하지 않도록 하는 것이다.
상세한 영어 자료는 위키피디아를 참고하면 된다. 이해하기가 쉽지 않지만...
- 필요한 상황
- 시간에 따라 기준 좌표가 바뀔 수 있는 상황. 즉 대변형이 일어나는 상황에서의
속도 벡터, 응력 텐서의 변화 등을 기술할 때 - 따라서 기본적으로 deformation에 대한 기술이 필요하다.
- Finite strain theory
- 그림 참조: Deformation of a continuum body
- Deformation gradient tensor인 \(\bf{F} (\vec{X}, t)\)는 변형전의 미소 거리
\(\vec{X}\)에 대한 변형 후의 미소 거리(\vec{x}\)의 비이다.
\( d \vec{x} = \bf{F} (\vec{X}, t) d\vec{X}\)
즉, \( F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}\)
그리고 이것의 Jacobian을 J로 나타내며 변형 전후의 미소 Volume변화를 나타낸다. - Time derivative of the deformation gradient에 대한 것도 미리 알아 둘 필요가 있다.
\( \dot{\bf{F}} = \frac{\partial \bf{F}}{\partial t} = \bf{\it{l}} \cdot \bf{F} \)
여기서 \(\bf{\it{l}} = \frac{\partial \vec{v}(\vec{x}, t)}{\partial \vec{x}} \)는 spatial velocity gradient라고 한다.
우리가 일반적으로 알고 있는 rate of deformation tensor와 spin or vorticity tensor은 다음과 같다.
\( \bf{\it{d}} = \frac{1}{2} (\bf{\it{l}} + \bf{\it{l}}^T)\),
\( \bf{\it{w}} = \frac{1}{2} (\bf{\it{l}} - \bf{\it{l}}^T)\). - deformation gradient tensor는 polar decomposition theorem에 의해 회전을 나타내는 부분과
stretch를 나타내는 부분의 곱으로 나타낼 수 있다. 회전을 나타내는 부분(텐서)는
Inverse과 transpose와 같고 determinant가 1이므로 다루기 쉽다.
- Objective rates
- 편의를 위해 회전 변형만 있는 경우에 대해 생각해 보자. \(\bf{Q} (\vec{X}, t)\)
\( \vec{u}^* = \bf{Q}\vec{u}\),
\( \bf{A}^* = \bf{Q}\bf{A}\bf{Q}^T\). - 벡터에 대해 objectivity를 만족하는 rate of objective vector를 구해보자.
여기서 첨자 *가 붙으면 변형 전을 의미한다.
\( \dot{\vec{u}}^* = \dot{\bf{Q}}\vec{u} + \bf{Q}\dot{\vec{u}}\)로 objectivity를 만족하지 못하지만,
\( \bar{\vec{u}} = \dot{\vec{u}} - \bf{\it{w}}\vec{u}\)로 정의하면,
(co-rotational rate of the objective vector field)
\( \bar{\vec{u}}^* = \bf{Q}\bar{\vec{u}}\)로 objectivity를 만족한다.
자세한 수식 유도는 위키피디아를 참고하면 됨. - 텐서에 대해서는 동일하게 생각하고 유도하면,
(텐서는 vector 두개의 결합이므로 회전변형 텐서가 앞뒤로 각각 붙는다.)
\( \bar{\bf{A}} = \dot{\bf{A}} - \bf{\it{w}}\bf{A} + \bf{A}\bf{\it{w}}\).
(co-rotational rate of the objective tensor field) - 즉 결론적으로 말하면 지배방정식 등을 유도할 때 finite한 회전변형을 포함한
상황에서는 시간에 대한 미분이 들어가는 경우, 이 co-rotational rate을 써야 한다.
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