벡터와 텐서의 객관성 (Objectivity of Vectors and Tensors)

Objectivity을 우리말로 표현하기 어렵다. 객관성?
어떠한 조건에서도 변하지 않도록 물리 현상을 나타내는(기술하는) 방식으로,
Frame invariance, 즉 관찰자의 프레임에 따라 물리적 특성이 변하지 않도록 하는 것이다.

상세한 영어 자료는 위키피디아를 참고하면 된다. 이해하기가 쉽지 않지만...

• 필요한 상황

1. 시간에 따라 기준 좌표가 바뀔 수 있는 상황. 즉 대변형이 일어나는 상황에서의
   속도 벡터, 응력 텐서의 변화 등을 기술할 때
2. 따라서 기본적으로 deformation에 대한 기술이 필요하다.

• Finite strain theory

1. 그림 참조: Deformation of a continuum body
2. Deformation gradient tensor인 $\bf{F} (\vec{X}, t)$는 변형전의 미소 거리
   $\vec{X}$에 대한 변형 후의 미소 거리(\vec{x}\)의 비이다.
   $d \vec{x} = \bf{F} (\vec{X}, t) d\vec{X}$
   즉, $F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}$
   그리고 이것의 Jacobian을 J로 나타내며 변형 전후의 미소 Volume변화를 나타낸다.
3. Time derivative of the deformation gradient에 대한 것도 미리 알아 둘 필요가 있다.
   $\dot{\bf{F}} = \frac{\partial \bf{F}}{\partial t} = \bf{\it{l}} \cdot \bf{F}$
   여기서 $\bf{\it{l}} = \frac{\partial \vec{v}(\vec{x}, t)}{\partial \vec{x}}$는 spatial velocity gradient라고 한다.
   우리가 일반적으로 알고 있는 rate of deformation tensor와 spin or vorticity tensor은 다음과 같다.
   $\bf{\it{d}} = \frac{1}{2} (\bf{\it{l}} + \bf{\it{l}}^T)$,
   $\bf{\it{w}} = \frac{1}{2} (\bf{\it{l}} - \bf{\it{l}}^T)$.
4. deformation gradient tensor는 polar decomposition theorem에 의해 회전을 나타내는 부분과
   stretch를 나타내는 부분의 곱으로 나타낼 수 있다. 회전을 나타내는 부분(텐서)는
   Inverse과 transpose와 같고 determinant가 1이므로 다루기 쉽다.

• Objective rates

1. 편의를 위해 회전 변형만 있는 경우에 대해 생각해 보자. $\bf{Q} (\vec{X}, t)$
   $\vec{u}^* = \bf{Q}\vec{u}$,
   $\bf{A}^* = \bf{Q}\bf{A}\bf{Q}^T$.
2. 벡터에 대해 objectivity를 만족하는 rate of objective vector를 구해보자.
   여기서 첨자 *가 붙으면 변형 전을 의미한다.
   $\dot{\vec{u}}^* = \dot{\bf{Q}}\vec{u} + \bf{Q}\dot{\vec{u}}$로 objectivity를 만족하지 못하지만,
   $\bar{\vec{u}} = \dot{\vec{u}} - \bf{\it{w}}\vec{u}$로 정의하면,
   (co-rotational rate of the objective vector field)
   $\bar{\vec{u}}^* = \bf{Q}\bar{\vec{u}}$로 objectivity를 만족한다.
   자세한 수식 유도는 위키피디아를 참고하면 됨.
3. 텐서에 대해서는 동일하게 생각하고 유도하면,
   (텐서는 vector 두개의 결합이므로 회전변형 텐서가 앞뒤로 각각 붙는다.)
   $\bar{\bf{A}} = \dot{\bf{A}} - \bf{\it{w}}\bf{A} + \bf{A}\bf{\it{w}}$.
   (co-rotational rate of the objective tensor field)
4. 즉 결론적으로 말하면 지배방정식 등을 유도할 때 finite한 회전변형을 포함한
   상황에서는 시간에 대한 미분이 들어가는 경우, 이 co-rotational rate을 써야 한다.