벡터의 발산과 회전 (Divergence and Curl of Vectors)

벡터의 발산과 회전은 그 의미를 쉽게 파악하기 힘들다.
여러번 생각해 봤지만 그 때 마다 알송 달송하다.
다음은 내가 최종적으로 받아 들인 의미이다.
다른 사람들 한테는 당연한 것일 수도 있고,
또 원래 의미와 다른 전혀 엉뚱한 것일 수도 있으나, 나에게는 소중한 깨달음(?)이다.

• 발산  $\nabla \cdot \vec F$

1. 벡터 방향으로 미소 변동 시 그 방향의 미소 변동(위치나 거리)에 따라 변하는 정도
2. 다른 방향의 변동은 고려되지 않는다.
3. Gauss Divergence Theorem에 따르면 체적의 표면의 Normal 방향과 벡터의 내적의 합이다.

• 회전 $\nabla \times \vec F$

1. 벡터 방향으로 미소 변동 시 그에 수직인 방향의 미소 변동에 따라 어느 방향으로 얼마나 변하는가?
2. 같은 방향의 변동은 고려되지 않는다.
3. 체적의 표면의 Tangent 방향과 벡터의 외적의 합이다.
4. 그 예로 다음을 보자.
   $\vec F = y \vec{x} - x \vec{y}$ 일 경우 $\nabla \times \vec F$ 는?
   x방향 미소 변동시 y에 따라 바뀜으로  $- \vec{z}$,
   y방향 미소 변동시 -x에 따라 바뀜으로  $- \vec{z}$ 이다. 따라서,
   $\nabla \times \vec F = -2 \vec{z}$ 가 된다.
   즉, $\vec F$를 잘 살펴보면 원점(z축)을 중심으로 회전하는 운동을 한다.
   정확히 말하면 시계방향으로 2의 값을 가지고 회전한다.
5. 쉽계 계산 수식을 기억하는 공식은 아래와 같다.
   $\nabla \times \vec F = | \matrix{ \vec i & \vec j & \vec{k}  \cr 1/∂x & 1/∂y  & 1/∂z \cr F_x & F_y & F_z } |$

• 액정 Director의 변화에 대한 적용

1. 액정 Director의 정의와 각각의 변형에 대한 상세한 설명은 Kent 대학의 다음 웹페이지를 참고하세요.
   http://dept.kent.edu/spie/liquidcrystals/nematics1.html
2. 3대 변형이 Splay,  Twist, Bend 변형을 수식으로 나타내면 다음과 같다.
    $\vec{n_{splay}} = (x \vec{x} + y \vec{y})/ \sqrt{x^2 + y^2}$,
    $\vec{n_{twist}} = \cos{y} \vec{x} + \sin{x} \vec{y}$,
    $\vec{n_{bend}} = (y \vec{x} -x \vec{y})/ \sqrt{x^2 + y^2}$.
3. 세 개의 director 분포에 대해 $\nabla \cdot \vec{n}$을 계산하면?
   편의상 $\sqrt{x^2 + y^2}$를 무시하고 계산해 보면,
    $\vec{n_{splay}}$만 2이고 나머지는 모두 zero이다.
4. 세 개의 director 분포에 대해 $\nabla \times \vec{n}$을 계산하며?
   편의상 $\sqrt{x^2 + y^2}$를 무시하고 계산해 보면,
    $\nabla \times \vec{n_{splay}} = 0$,
    $\nabla \times \vec{n_{twist}} =- \cos{y} \vec{x} - \sin{x} \vec{y} = -\vec{n_{twist}}$,
    $\nabla \times \vec{n_{bend}} =  -2 \vec{z}$ 이다.
5. 따라서 $\vec{n} \cdot \nabla \times \vec{n}$을 계산하면?
    $\vec{n_{twist}}$와  $\nabla \times \vec{n_{twist}}$가 같은 방향이므로
   이것만 -1이고 나머지는 모두 zero이다
6. 따라서 $\vec{n} \times \nabla \times \vec{n}$을 계산하면?
    $\vec{n_{bend}}$ 와  $\nabla \times \vec{n_{bend}}$ 가 수직이므로
   이것만 영이 아니다.
7. 위 3. 5, 6번 사실을 확인하면 3가지 벡터 연산들이 각각 Splay와 Twist, Bend 변형을 변하는 것을 쉽게 유추할 수 있다.